Математика. Траектория 1

Численные методы (траектория 1)

Сроки обучения

2 квартиль 2017-2018 учебного года (32 часа)

3 квартиль 2017-2018 учебного года (32 часа)

Преподаватели

Мария Бузинских, Анна Мелентьева (imoto@list.ru), Татьяна Салтанова (tsaltanova@mail.ru), Ольга Уфукова, Дмитрий Шармин (dsharmin@mail.ru), Валентин Шармин (sharmin@utmn.ru).

Описание курса

Содержание дисциплины разделено на пять модулей: «Введение в математику», «Множества», «Дискретная математика», «Теория вероятностей» и «Математическая статистика».

Знакомство с модулем «Введение в математику» позволит взглянуть на математику как на живую развивающуюся науку с интересной историей и с широкими возможностями практического применения, увидеть чёткую структуру математического знания, которая обычно остаётся скрытой от внимания за большим числом конкретных формул, фактов и алгоритмов.

Модули «Множества» и «Дискретная математика» включают такие разделы, как множества и операции над ними, соответствия и отношения, математическая логика, теория графов. Материал этих разделов необходим для освоения ряда важных специальных дисциплин в области компьютерных наук, в том числе в области программирования и проектирования баз данных. Так, в основе наиболее распространённой реляционной модели данных и реляционных баз данных лежит теория множеств. Понятия и методы теории множеств и дискретной математики активно используются в области гуманитарных исследований для математического моделирования различных систем сложной структуры. Например, теория графов применяется при изучении социальных сетей (анализ социальных связей человека, анализ медиа-контента и т.п.); теория множеств и математическая логика могут успешно использоваться в сравнительно-исторических исследованиях, а теория графов – в причинно-следственном и структурно-функциональном анализе исторических процессов.

Знакомство с модулями «Теория вероятностей» и «Математическая статистика» позволяет студентам использовать вероятностные и статистические методы в самых разных областях знаний, в том числе для обработки и анализа результатов научных исследований, а также для выявления и анализа закономерностей в больших массивах данных. Данная траектория предполагает изучение указанных разделов математики в достаточно большом объёме.

Занятия строятся по традиционной схеме. Каждое занятие предполагает краткое рассмотрение и обсуждение в аудитории основных теоретических положений изучаемой темы и решение задач. Успешное освоение материала предполагает интенсивную самостоятельную работу, в том числе выполнение домашних заданий.

Цель и задачи курса

Цель: Формирование у студентов знаний и умений, необходимых для освоения и использования математических методов в специальных дисциплинах и в области будущей профессиональной деятельности.

Задачи:

  • Формирование у студентов представлений о математике как о развивающейся науке, имеющей свой предмет, задачи и методы.
  • Формирование у студентов общего представления об основных идеях, понятиях и методах теории множеств, математической логики, теории графов, теории вероятностей и математической статистики.
  • Развитие у студентов умений работать с математическим аппаратом, решать типовые задачи теории множеств, математической логики, теории графов, теории вероятностей и математической статистики.
  • Формирование у студентов умений разбираться в существующих математических методах и моделях и условиях их применения.

Аттестация

Квартиль 2

Итоговая оценка складывается из следующих компонентов:

10% — работа на занятиях в аудитории;

15% — выполнение домашних заданий;

25% — контрольная работа по темам занятий 2-6;

25% — контрольная работа по темам занятий 8-10, 12-13;

25% — коллоквиум по теоретическому материалу занятий 2-6, 8-11.

Квартиль 3

Итоговая оценка складывается из следующих компонентов:

10% — работа на занятиях в аудитории;

20% — выполнение домашних заданий;

30% — контрольная работа по темам занятий 2-6;

15% — контрольная работа по темам занятий 8-9;

25% — контрольная работа по темам занятий 11-15.

Требования дисциплинарного характера

Не допускается пропуск аудиторных занятий. В случае пропуска занятий по уважительной причине, подтверждённой документально (болезнь), студент должен выполнить дополнительные задания по пройденному на каждом из пропущенных занятий материалу. В случае пропуска занятий по всем остальным причинам пропуск 90-минутного занятия уменьшает итоговую оценку за текущий квартиль на 0,5 баллов (по 10-балльной шкале).

Содержание обучения

 

Квартиль 2

Занятие 1. Введение в математику

Занятия 2,3,4. Множества и операции над ними

Понятие множества. Способы задания множеств. Пустое множество. Отношения между множествами. Универсальное множество. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность. Свойства операций над множествами. Разбиение множества на классы. Декартово произведение множеств. Число элементов объединения, разности и декартова произведения конечных множеств.

Занятие 5. Соответствия. Функции

Понятие соответствия. Область отправления, область прибытия соответствия. Область определения, множество значений соответствия. Граф и график соответствия. Отображения и функции. Способы задания функций. График функции.

Занятие 6. Отношения

Отношения на множестве. Свойства бинарных отношений: рефлективность, симметричность, антисимметричность, асимметричность, транзитивность. Граф отношения. Отношения эквивалентности и порядка.

Занятие 7. Контрольная работа

Контрольная работа проводится по темам занятий 2-6.

Занятие 8. Высказывания и операции над ними

Высказывания. Операции над высказываниями. Формулы логики высказываний. Таблицы истинности. Основные законы алгебры логики.

Занятие 9. Равносильность формул. Логическое следствие

Равносильность формул. Доказательство равносильности формул с помощью таблиц истинности и с использованием законов логических операций. Тавтология. Определение логического следствия. Решение задач: проверить является ли некоторая формула логическим следствием данных формул, получить все следствия из данных формул.

Занятие 10. Логика предикатов

Одноместные и многоместные предикаты. Область определения и множество истинности предиката. Операции над предикатами. Кванторы общности и существования.

Занятие 11. Повторение материала. Коллоквиум

Повторение материала по темам занятий 8-11. Коллоквиум проводится письменно по темам занятий 2-6, 8-11 (40 минут).

Занятия 12,13. Основы теории графов

Понятие графа. Вершины и ребра графа. Изоморфные графы. Ориентированный граф. Маршруты на графах. Связный граф. Цепи и циклы. Эйлеров цикл, теорема Эйлера. Гамильтонов цикл. Деревья. Задачи о покрывающих деревьях.

Занятие 14. Контрольная работа

Контрольная работа проводится по темам занятий 8-10, 12-13.

Квартиль 3

Занятие 1. История возникновения и развития математики. Математика и реальный мир

Как возникают математические науки (на примере теории графов). Занимательные задачи в истории математики (на примере чисел Фибоначчи, задачи де Мере и др.).

Математика как один из инструментов познания окружающего мира. Математические методы и модели. Примеры применения математических методов и моделей в различных областях деятельности человека. Язык математики. Структура математического знания: понятия, аксиомы, теоремы.

Занятие 2. Основные правила и формулы комбинаторики

Правило суммы. Правило произведения. Перестановки, размещения и сочетания. Число перестановок, размещений и сочетаний без повторений и с повторениями.

Занятие 3. Вероятность случайного события

Случайные события. Классическое и статистическое определения вероятности события. Использование формул комбинаторики при вычислении вероятностей.

Занятие 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Сумма событий. Произведение событий. Противоположные события. Условная вероятность. Теорема сложения вероятностей и следствия из нее. Теорема умножения вероятностей.

Занятие 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Занятие 6. Повторение испытаний

Формула Бернулли. Наиболее вероятное число успехов. Формулы Лапласа и Пуассона.

Занятие 7. Контрольная работа

Контрольная работа проводится по темам занятий 2-6.

Занятие 8. Случайные величины. Дискретные случайные величины

Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

Занятие 9. Непрерывные случайные величины

Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Показательное распределение.

Занятие 10. Повторение материала. Контрольная работа

Повторение материала. Контрольная работа проводится по темам занятий 8-9.

Занятие 11. Выборочный метод. Точечные статистические оценки числовых характеристик случайной величины

Генеральная совокупность и выборка. Виды выборок и способы отбора. Статистическое распределение выборки. Интервальная таблица частот. Графическое изображение статистического распределения (полигон частот, гистограмма частот). Точечные статистические оценки числовых характеристик случайной величины (выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленная выборочная дисперсия, исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочная мода, выборочная медиана).

Занятие 12. Интервальные оценки числовых характеристик случайной величины

Необходимость использования интервальных оценок. Точность и надежность оценки. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормального распределения. Точечная и интервальная оценки вероятности биномиального распределения по относительной частоте.

Занятие 13. Элементы корреляционно-регрессионного анализа

Функциональная, стохастическая и корреляционная зависимости. Функция регрессии. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Выборочное уравнение прямой линии регрессии.

Занятие 14,15. Проверка статистических гипотез

Понятие статистической гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Общий алгоритм проверки статистической гипотезы. Виды статистических гипотез. Гипотезы о числовых значениях параметров нормального распределения, о числовом значении вероятности события (проверка одной или двух из них). Гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормально распределенных совокупностей, о равенстве генеральных дисперсий двух нормально распределенных совокупностей, о равенстве вероятностей двух биномиальных распределений (проверка одной или двух из них). Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Занятие 16. Контрольная работа

Контрольная работа проводится по темам занятий 11-15.